Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Determine todos os pontos da curva y = t g x , para - π / 2 < x < π / 2 , em que a tangente é paralela à reta y = 2 x . Esboce a curva e a(s) tangente(s) no mesmo gráfico, identificando cada uma com sua equação.

Passo 1

Antes de começarmos a discutir sobre a questão, precisamos relembrar a relação de paralelismo entre duas retas. Duas retas são paralelas se, e somente se, o coeficiente angular de ambas for igual. Isto é, dada uma reta y = a x + b , o valor que multiplica o x , no caso a , deve ser igual para ambas as retas. Desta forma, devemos encontrar pontos cuja reta tangente tem inclinação igual a 2.

Mas aí a gente entra em um simples questionamento. Como encontramos a inclinação de uma reta tangente a uma curva? É neste exato momento em que entramos com os nossos conhecimentos de cálculo!

A função inclinação de uma reta nada mais é a derivada da sua curva. Portanto, quando a derivada da função for igual a 2, teremos retas paralelas a reta y = 2 x !

Passo 2

Vamos começar determinando a função derivada da curva y = t g ( x ) . Sendo assim, temos:

y ' = t g x '

y ' = sec 2 ⁡ x

Passo 3

Devemos descobrir agora quais os valores de x tais que y ' = 2 . Logo, temos:

y ' = sec 2 ⁡ x = 2

sec ⁡ x = ± 2

1 cos ⁡ x = ± 2

cos ⁡ x = ± 2 2

Para o intervalo - π / 2 < x < π / 2 , os valores de x tais que cos ⁡ x = ± 2 / 2 são:

x = π 4

x = - π 4

Passo 4

Os pontos são:

A = π 4 , t g π 4 = π 4 , 1

B = - π 4 , t g - π 4 = π 4 , - 1

Passo 5

Abaixo temos o gráfico da curva e das retas paralelas a curva y = 2 x .

Resposta

A = π 4 , t g π 4 = π 4 , 1

B = - π 4 , t g - π 4 = π 4 , - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Se G x = 4 x 2 - x 3 , encontre G ' ( a ) e use-o para encontrar equaç
Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 1 + e - x   &
Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = 0 ,   f ' 0 =
Encontre a inclinação da tangente à curva y = 3 + 4 x 2 - 2 x 3 no pon
Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de y = g x , em x
Uma curva tem por equação y = f ( x ) a) Escreva uma expressão para a
Seja l a reta tangente à parábola y = x 2 no ponto (1,1). O ângulo de
35. Ache uma equação da reta normal à curva x 2 + x y + y 2 - 3 y = 10