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Determine o valor, ou valores, de c que satisfazem a equação:

f b - f a b - a = f ' ( c )

Que consta da conclusão do teorema de valor médio para

f x = s e n - 1 x ,       [ - 1 ,   1 ]

Passo 1

Primeiro, substituiremos os valores na fórmula de valor médio.

Em seguida, derivaremos a função dada e igualaremos ao valor encontrado no passo anterior.

Terminado isso, concluiremos os valores para os quais a equação é satisfeita.

Passo 2

Substituindo os valores do intervalo na função, temos:

f - 1 = s e n - 1 - 1 = a r c s e n - 1 = 3 π 2

f 1 = s e n - 1 1 = a r c s e n 1 = π 2

Substituindo na fórmula de valor médio:

f 1 - f - 1 1 - ( - 1 )

π 2 - 3 π 2 2 = - 2 π 2 2 = - π 2

Passo 3

Resolvendo a derivada, temos:

f ' x = 1 1 - x 2

Para o valor médio teremos:

1 1 - x 2 = - π 2

- π 1 - x 2 = 2

1 - x 2 = - 2 π

1 - x 2 = 4 π 2

- x 2 = 4 π 2 - 1

x 2 = 1 - 4 π 2

x 2 = π 2 - 4 π 2

x = π 2 - 4 π ≈ 0,7712

Resposta

c ≈ 0,7712

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