Enunciado

Encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial dado.

f → x ,   y ,   z = x y 2 z i → + 2 j → + 3 k →

Passo 1

Nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular a divergência do campo vetorial f → dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá a divergência do campo.

Vamos considerar o campo f → :

f → x ,   y ,   z = f 1 x ,   y ,   z   i → + f 2 x ,   y ,   z   j → + f 3 x ,   y ,   z   k →

Que também pode estar escrito como:

f → x ,   y ,   z = f 1 ,   f 2 ,   f 3

A divergência desse campo vai ser:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Depois disso, vamos encontrar o rotacional do campo, que é calculado por:

r o t   f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3 = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

f → x ,   y ,   z = x y 2 z i → + 2 j → + 3 k →

Reescrevendo,

f → x ,   y ,   z = x y 2 z   i → + 2 x y 2 z   j → + 3 x y 2 z   k →

Então,

f 1 = x y 2 z  

f 2 = 2 x y 2 z

f 3 = 3 x y 2 z

Calculando as derivadas parciais:

∂ f 1 ∂ x = ∂ ( x y 2 z ) ∂ x = y 2 z

∂ f 2 ∂ y = ∂ ( 2 x y 2 z ) ∂ y = 4 x y z

∂ f 3 ∂ z = ∂ ( 3 x y 2 z ) ∂ z = 3 x y 2

Juntando tudo:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Substituindo,

d i v   f → = y 2 z + 4 x y z + 3 x y 2

Passo 3

Beleza, achamos a divergência, agora vamos pro rotacional.

r o t   f → = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Bom, então vamos ter que calcular mais umas derivadas que faltaram! Vamos lá, na ordem em que aparecem na expressão!

∂ f 3 ∂ y = ∂ 3 x y 2 z ∂ y = 6 x y z

∂ f 2 ∂ z = ∂ 2 x y 2 z ∂ z = 2 x y 2

∂ f 1 ∂ z = ∂ ( x y 2 z ) ∂ z = x y 2

∂ f 3 ∂ x = ∂ ( 3 x y 2 z ) ∂ x = 3 y 2 z

∂ f 2 ∂ x = ∂ ( 2 x y 2 z ) ∂ x = 2 y 2 z

∂ f 1 ∂ y = ∂ ( x y 2 z ) ∂ y = 2 x y z

Agora é só substituir!

r o t   f → = 6 x y z - 2 x y 2 i → + x y 2 - 3 y 2 z j → + 2 y 2 z - 2 x y z k →

Arrumando,

r o t   f → = 2 x y 3 z - y i → + y 2 ( x - 3 z ) j → + 2 y z ( y - x ) k →

Acabamos!

Resposta

d i v   f → = y 2 z + 4 x y z + 3 x y 2

r o t   f → = 2 x y 3 z - y i → + y 2 ( x - 3 z ) j → + 2 y z ( y - x ) k →

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