Enunciado

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Encontre d 3 y d x 3   se y = 3 - 2 x .

Passo 1

Bom, precisamos derivar a função dada no enunciado três vezes, começando pela primeira:

d y d x = d d x ( 3 - 2 x )

Vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia, derivamos primeiro a função de fora:

d d t ( t ) = 1 2 t

Então substituímos t pela função de dentro e multiplicamos tudo pela derivada dela:

d y d x = 1 2 3 - 2 x d d x ( 3 - 2 x )

Resolvendo a derivada que apareceu diretamente, ficamos com:

d y d x = - 1 3 - 2 x

Passo 2

Agora precisamos derivar a função que acabamos de obter:

d 2 y d x 2 = d d x - 1 3 - 2 x

Para resolvermos, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente:

d d x - 1 3 - 2 x = - d d x 1 3 - 2 x - 1 d d x ( 3 - 2 x ) 3 - 2 x

A primeira parte zera pela derivada de 1, e a segunda derivada que apareceu nós já resolvemos no Passo 1:

d d x 3 - 2 x = - 1 3 - 2 x

Ficaremos com:

d 2 y d x 2 = - 1 3 - 2 x 3 - 2 x = - 1 3 - 2 x 3 2

Passo 3

E por final vamos derivar a função que calculamos no Passo 2:

d 3 y d x 3 = d d x - 1 3 - 2 x 3 2

Aplicando novamente a Regra do Quociente:

d d x - 1 3 - 2 x 3 2 = - d d x 1 3 - 2 x 3 2 - 1 d d x 3 - 2 x 3 2 3 - 2 x 3

O primeiro termo some novamente pela derivada de 1, e o segundo termo precisa que a gente aplique a Regra da Cadeia:

d d x 3 - 2 x 3 2 = 3 2 3 - 2 x 1 2 d d x ( 3 - 2 x )

E isso será:

d d x 3 - 2 x 3 2 = - 3 3 - 2 x 1 2

Substituindo na Regra do Quociente:

d d x - 1 3 - 2 x 3 2 = - 3 3 - 2 x 1 2 3 - 2 x 3 = - 3 ( 3 - 2 x ) 1 2 - 6 2 = - 3 ( 3 - 2 x ) - 5 2

d 3 y d x 3 = - 3 ( 3 - 2 x ) - 5 2

d 3 y d x 3 = - 3 ( 3 - 2 x ) 5 2

Resposta

d 3 y d x 3 = - 3 ( 3 - 2 x ) 5 2

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