Enunciado

Encontre f ' ( x ) : f x = s e c ⁡ ( x ) 1 + t g x

Passo 1

Faalaaa galera, para calcular essa derivada ,primeiro percebemos que temos uma divisão na nossa função, para resolver essa derivada, vamos ter que usar a regra do quociente.

Vamos lembrar que regra é essa?

d d x f x g ( x ) = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Nesse caso, nossa f x = s e c ⁡ ( x )   e g x = 1 + t g x .

Mas antes de jogar logo na nossa regrinha, vamos relembrar as derivadas:

d d x s e c ⁡ ( x ) = s e c ⁡ ( x ) ∙ t a n ⁡ ( x )

d d x t g x = s e c 2 ( x )

Essas derivadas podem ser resolvidas através daquele limite grandão, mas são muito grandes e gastam tempo. Por isso as derivadas trigonométricas são tabeladas, como essas duas ai em cima.

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente:

f ' x = sec ⁡ x ' ∙   1 + t g x - sec ⁡ x ∙   1 + t g x '   1 + t g x 2

Resolvendo: f ' x = ( s e c ⁡ ( x ) ∙ t g ⁡ ( x ) ) ∙   1 + t g x - sec ⁡ x ∙ ( s e c 2 ( x ) )   1 + t g x 2

Colocando - sec ⁡ x em evidência:

f ' x = - sec ⁡ x ( - tg ⁡ x - t g 2 x + ( s e c 2 ( x ) )   1 + t g x 2

Uma identidade trigonométrica nos diz:

sec 2 ⁡ x - t g 2   x = 1

Substituindo:

f ' x = - sec ⁡ x ( - tg ⁡ x + 1 )   1 + t g x 2

Ou f ' x = sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x - sec ⁡ x   1 + t g x 2

Podemos parar por aqui.

Resposta

f ' x = - sec ⁡ x ( - tg ⁡ x + 1 )   1 + t g x 2

Ou

f ' x = sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x - sec ⁡ x   1 + t g x 2

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