Enunciado

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Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas:

y = x 2 e - x ,       y = x e - x

Passo 1

As curvas y = x 2 e - x e y = x e - x   se interceptam quando:

x 2 e - x = x e - x ⇒ x 2 e - x - x e - x = 0 ⇒ x e - x x - 1 = 0 ⇒

⇒ xe - x ⁡ = 0 ,   e n t ã o   x = 0   o u   x   - 1 = 0 ,   e n t ã o   x = 1  

Passo 2

Logo temos que o intervalo de interceção é 0 < x < 1 e assim a área entre essas curvas é dada por:

A = ∫ 0 1 x 2 e - x - x e - x   d x = ∫ 0 1 x 2 e - x   d x - ∫ 0 1 x e - x

Para este caso vamos aplicar a técnica de integração por partes. Para isso precisamos dividir o argumento da integral em duas funções f ( x ) e g ( x ) respectivamente. Feito isso, aplicamos a fórmula para a integração por partes que é dada por :

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Ou de forma mais visível, fazemos:

∫ f x g ' x = f x g x - ∫ f ' x g ( x )

Primeiro então, devemos definir quem vão ser nossas funções. É aconselhável escolher a função mais fácil de derivar para ser f x ou a mais difícil de se integrar. Assim atribuindo os valores em referência a primeira integral temos:

f x = x 2       e           g ' x = e - x

Derivando f e integrando g ' , temos:

f x = x 2   ⇒ f ' x = 2 x

g ' x = e - x ⇒ g x = ∫ e - x d x = - e - x + C

Aplicando as funções e suas derivadas na fórmula citada , temos:

∫ 0 1 x 2 e - x d x = - x 2 e - x   | 1 0 - ∫ 0 1 - 2 x e - x   d x = - x 2 e - x   | 1 0 + 2 ∫ 0 1 x e - x d x

Passo 3

Observe que teremos que aplicar a integração por partes novamente e com isso teremos o reSultado também da outra parcela quando separamos nossa integral em duas pela propriedade da soma e da subtração. Assim temos que:

f 1 x =   x ⇒ f 1 ' x = 1

g 1 ' x = e - x ⇒ g 1 x = ∫ e - x d x =   - e - x

Aplicando as funções e suas derivadas na fórmula citada , temos:

∫ 0 1 x   e - x d x = - x   e - x   | 1 0 - ∫ 0 1 - e - x   d x = - x   e - x   | 1 0 + ∫ 0 1 e - x d x =  

=   - x e - x | 1 0 - e - x   | 1 0 = - 1 e - 1 e + 1 = - 2 e + 1

Então:

∫ 0 1 x 2 e - x d x = - x 2 e - x   | 1 0 + 2 ∫ 0 1 x e - x d x =   - x 2 e - x   | 1 0 + 2 - 2 e + 1 =

  - 1 e - 4 e + 2 = - 5 e + 2

Relembrando que de forma genérica a integral definida possui a seguinte definição:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 4

Retomando a integral inicial e substituindo os resultados obtidos, temos:

A = ∫ 0 1 x 2 e - x - x e - x   d x = ∫ 0 1 x 2 e - x   d x - ∫ 0 1 x e - x =

- x 2 e - x   | 1 0 + 2 ∫ 0 1 x e - x d x - ∫ 0 1 x e - x = - 1 e + 0 + 2 - 2 e + 1 - - 2 e + 1 =   - 1 e - 4 e + 2 + 2 e - 1 = - 3 e + 1

Resposta

A = - 3 e + 1

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