Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Encontre a área da regiao sombreada, onde r = θ .

Passo 1

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ onde r é a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .No caso, esta bem explícito qual a função porém, usando a imagem como referência, precisamos descobrir qual o intervalo que sera o domínio de integração.

Teremos que ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = R b - R ( a ) , pelo Teorema Fundamental do Cálculo, onde R e uma primitiva de 1 2 r θ 2 .

Passo 2

Na figura, a área sombreada esta no primeiro e segundo quadrante, então o ângulo percorre, partindo do eixo x no sentido anti-horario, π 2   para percorrer o primeiro quadrante e mais π 2   para percorrer o segundo.

Portanto, partindo do 0 o ângulo percorre π , então temos que o intervalo em questão e: [ 0 , π ] .

Passo 3

Como a expressão do raio e dada, já podemos calcular a integral:

∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = ∫ 0 π 1 2 θ 2 d θ    

Temos que uma primitiva da função que queremos integrar e θ 3 3 ,então:

∫ 0 π 1 2 θ 2 d θ = π 3 6 - 0 6 = π 3 6  

Resposta

Logo, a resposta e: π 3 6

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Se uma elipse é girada em torno de seu eixo maior, encontre o volume do sólido resultante.(b) Se ela for girada em torno de seu eixo menor, encontre o volume resultante.
Encontre a área da região delimitada pela hipérbole x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 e pela reta vertical passando por um foco.
Encontre a área da regiao que é limitada pelas curvas dadas e esta no setor especificado: r = s e n ( θ )     ,   π / 3 ≤ θ ≤ 2 π / 3
Encontre a área da região dentro de um laco, onde r = s e n 2 θ .
Calcule a área limitada pela curva x = 1 + e t y = t - t 2 E pelo eixo x .
Se o arco da curva no Exercício 50 girar em torno do eixo x , estime a área da superfície resultante usando a Regra de Simpson com n = 4 .
Trace a curva x = 2 cos ⁡ θ - cos ⁡ 2 θ               y = 2 s e n   θ - s e n 2 θ     Se essa curva girar em torno do eixo x , calcule a área da superfície resultante. (Use o gráfi...
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas r = 3 + 2 cos ⁡ θ r = 3 + 2 sen ⁡ θ
Use a fórmula 10.2 . 7 para mostrar que a área da superfície gerada pela rotação da curva polar r = f θ       ,       a ≤ θ ≤ b (Onde f ' é contínua e 0 ≤ a < b ≤ π ) em torno d...
Encontre a área da região dentro de um laco, onde r = 2 c o s 6 θ .
Seja R   a região dentro do laço da curva no Exemplo 1:Calcule a área de R Se R girar em torno do eixo   x ,   encontre o volume do sólido resultante Encontre o centroide de R
Uma vaca é amarrada a um silo com raio r por uma corda comprida o suficiente para alcançar apenas o outro lado do silo. Calcule a área disponível para a vaca pastar.