Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart - Capítulo 10.4 - Ex. 9

Ver Outros Exercícios
desse livro

Encontre a área da regiao sombreada, onde r = s e n 2 θ .

Passo 1

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ onde r é a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .No caso, esta bem explicito qual a função porém, usando a imagem como referência, precisamos descobrir qual o intervalo que sera o domínio de integração.

Teremos que ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = R b - R ( a ) onde R é uma primitiva de 1 2 r θ 2 , ou seja, se derivarmos R teremos a função dentro da integral.

Passo 2

Na figura, a área sombreada esta no primeiro quadrante, partindo no sentido anti-horario, logo o ângulo percorre um quarto de volta partindo do 0, então temos que o intervalo será 0 , π 2 .

Passo 3

Como a expressão do raio e dada, já podemos calcular a integral:

∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = ∫ 0 π 2 s e n 2 θ 2 2 d θ  

Precisamos de uma substituição para resolver essa integralÇ

Usando as relações: s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 e a formula do arco duplo do cosseno: cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - s e n 2 ( θ ) . Trocando θ por 2 θ   , passando o seno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:

s e n 2 2 θ = 1 - cos ⁡ 4 θ 2  

Passo 4

Agora, substituindo a expressão na integral e resolvendo:

∫ 0 π 2 s e n 2 θ 2 2 d θ = ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 4 θ 4   d θ   =   ∫ 0 π 2 1 4 d θ - ∫ 0 π 2 cos ⁡ 4 θ 4 d θ

Usando que uma primitiva da função na segunda integral e s e n 4 θ 16 , temos

= π 4 - 0 2 - s e n 2 π 16 - s e n 0 16 = π 4

Resposta

Logo, a resposta será π 4

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da região delimitada pela hipérbole x 2 a 2 - y 2 b 2

Ver Mais

(a) Se uma elipse é girada em torno de seu eixo maior, encontre o volu

Ver Mais

Encontre a área da regiao que é limitada pelas curvas dadas e esta no

Ver Mais

Encontre a área da região dentro de um laco, onde r = s e n 2 θ .

Ver Mais

Calcule a área limitada pela curva x = 1 + e t y = t - t 2 E pelo eixo

Ver Mais