Enunciado

Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados.

x = 1 8 y 4 + 1 4 y - 2   d e   y = 1   a t é   y = 4

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos lá, é só a gente usar a fórmula:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2   d x

Pra começar, a gente tem um intervalo de y , então a gente precisa de uma função de y , o que não muda nada no desenvolvimento.

Vamos começar derivando a função:

x ' = 4 8 y 3 - 2 4 y - 3

x ' = 1 2 y 3 - 1 2 y - 3

Top! Vamos continuar...

Passo 2

Elevando isso ao quadrado, temos:

1 2 y 3 - 1 2 y - 3 2

= 1 4 y 6 - 1 2 + 1 4 y - 6

Seguindo na fórmula, a gente precisa somar isso com 1. Vai ficar:

= 1 4 y 6 + 1 2 + 1 4 y - 6

Show! Agora a gente joga isso dentro da raiz e dentro da integral...

Passo 3

L = ∫ 1 4 1 4 y 6 + 1 2 + 1 4 y - 6   d y

Olha que legal, a gente pode fazer isso aqui ó:

L = ∫ 1 4 1 2 y 3 + 1 2 y - 3 2   d y

Aí a gente corta o expoente com a raiz:

L = ∫ 1 4 1 2 y 3 + 1 2 y - 3 d y

E agora é só integrar normalzinho:

L = 1 2 y 4 4 + 1 2 - 1 2 y 2 1 4

L = y 4 8 - 1 4 y 2 1 4

L = 32 - 1 64 - 1 8 + 1 4

L = 2055 64

E prontinho! Chegamos ao comprimento da curva😉

Resposta

L = 2055 64

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →