Enunciado

Encontre d y / d x por derivação implícita.

a r c   s e n     x y = a r c cos ⁡ ( x - y )

Passo 1

Nessa questão vamos com bastante calma derivar um lado de cada vez, começando pelo lado esquerdo.

Mas antes precisamos lembrar desse resultado superimportante de derivações implícitas:

a r c   s e n   u ' =     1 1 - u 2     d u d x

Então se derivarmos usando a regra da cadeia vamos ficar com:

a r c   s e n   x y ' =     1 1 - x y 2       d ( x y ) d x          

Opa, parece então que a gente caiu numa regra do produto com derivada implícita, mas fica calmo que vai dar tudo certo hehe

a r c   s e n   x y ' =     1 1 - x y 2       (   d x d x   y   +     x   d y d x   )        

Passo 2

Agora vamos partir pro lado direito. Masss antes vamos também lembrar de um resultado maneiro que diz isso aqui:

a r c   c o s   u ' =     - 1 1 - u 2     d u d x

Então se a gente derivar a r c cos ⁡ ( x - y ) usando a regra da cadeia vamos ficar com:

a r c   c o s   ( x - y ) ' =     - 1 1 - ( x - y ) 2     d ( x - y ) d x

a r c   c o s   ( x - y ) ' =     - 1 1 - ( x - y ) 2     ( d x d x   -     d y d x )

Passo 3

Agora partiu igualar isso que a gente encontrou?

1 1 - x y 2         d x d x   y   +     x   d y d x         = - 1 1 - ( x - y ) 2     ( d x d x   -     d y d x )

Podemos falar que d x d x = 1 ,   e aí só vai faltar a gente isolar o d y d x

1 1 - x y 2         y   +     x   d y d x         = - 1 1 - ( x - y ) 2     ( 1   -     d y d x )

y 1 - x y 2 +   1 1 - ( x - y ) 2 = d y d x ( 1 1 - x - y 2 - x 1 - x y 2 )

d y d x = y 1 - ( x - y ) 2 + 1 - x y 2 1 - x y 2 - x 1 - ( x - y ) 2  

Resposta

d y d x = y 1 - ( x - y ) 2 + 1 - x y 2 1 - x y 2 - x 1 - ( x - y ) 2

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →