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Encontre a derivada da função.

y = x e - k x

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Temos que:

f x = x

e

g x = e - k x

Passo 2

Usamos a regra do polinômio pra calcular f ' x :

x n ' = n x n - 1

Assim:

f ' ( x ) = x ' = 1 . x 1 - 1 = x 0 = 1

Passo 3

Já para calcular g ' ( x ) vamos usar a regra da função exponencial:

e f x ' = e f x . f ( x ) '

Assim temos:

g ' ( x ) = e - k x ' = e - k x . - k x '

E para calcular - k x ' usamos a regra da multiplicação por constante:

k f x ' = k f ' ( x )

Ficamos então com:

- k x ' = - k . 1 . x 1 - 1 = - k . x 0 = - k

g ' ( x ) = e - k x . - k x ' = e - k x . - k = - k e - k x

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' ( x ) f x = 1 . e - k x + - k e - k x . x = e - k x 1 - k x

Resposta

y ' = e - k x 1 - k x

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