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Encontre a derivada da função dada:

g x = tgh - 1 ⁡ sen ⁡ 3 x

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de senh - 1 ⁡  

tgh - 1 ⁡ x ' = 1 1 - x 2

Temos que ficar atentos aqui, temos 3 funções.

Vamos fazer

g x = h f w x

Com

h x = tgh - 1 ⁡ x

f x = sen ⁡ x

w x = 3 x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

g ' x = h ' f w x f w x '

g ' x = h ' f w x f ' w x w ' x

Temos

g ' x = 1 1 - x 2

Que é a derivada de tgh - 1 ⁡  

Então

g ' x = 1 1 - f w x 2 f ' w x w ' x

Passo 2

Vamos achar a derivada de f x

f x = sen ⁡ x → f ' x = cos ⁡ x

Vamos ter

g ' x = 1 1 - sen ⁡ w x 2 cos ⁡ w x w ' x

Passo 3

Vamos agora para w x

w x = 3 x → w ' x = 3

Vamos ficar com:

g ' x = 1 1 - sen ⁡ 3 x 2 cos ⁡ 3 x 3

g ' x = 3 cos ⁡ 3 x 1 - sen 2 ⁡ 3 x

Lembrando que

1 - sen 2 ⁡ 3 x = cos 2 ⁡ 3 x

Vamos ter

g ' x = 3 cos ⁡ 3 x cos 2 ⁡ 3 x = 3 cos ⁡ 3 x

Para finalizar, usamos:

1 cos ⁡ 3 x = sec ⁡ 3 x

g ' x = 3 sec ⁡ 3 x

Resposta

g ' x = 3 sec ⁡ 3 x

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