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Encontre uma equação de plano para um plano que passe pela interseção dos planos x - z = 1 e y + 2 z = 3 e é perpendicular ao plano x + y - 2 z = 1 .

Passo 1

Bom galera, para encontrar a linha entre dois planos a gente usa:

L = O + t ( a → )

Ou seja, um ponto P somado com um vetor direção que se extende por t .

Então vamos encontrar P , um ponto qualquer em que os planos se encontram, pra isso a gente iguala o z das equações do plano a 0 e calcula um sistema:

x - ( 0 ) = 1 y + 2 ( 0 ) = 3

Encontramos x = 1 e y = 2 , então um ponto de interseção é:

O = ( 1 , 3 , 0 )

Passo 2

Agora, pra completar na equação da linha a gente precisa do vetor direção a gente faz um produto vetorial dos coeficientes das equações do plano:

x - z = 1

y + 2 z = 3

O produto vetorial fica:

a → = det ⁡ i → j → k → 1 0 - 1 0 1 2

a → = ( 1 , - 2,1 )

Então, temos a nossa equação da linha:

L = ( 1 , 3 , 0 ) + t ( 1 , - 2,1 )

E o plano perpendicular que é escrito com a equação:

x + y - 2 z = 1

Então o vetor desse plano é:

b → = ( 1,1 , - 2 )

Passo 3

Pois agora, a gente encontra um vetor ortogonal aos dois que a gente assim, para isso a gente pega o produto vetorial dos dois:

v → = a → × b → = det ⁡ i → j → k → 1 - 2 1 1 1 - 2

v → = 3 i → + 3 j → + 3 k →

Passo 4

Beleza, e a equação do plano por definição é:

v → x x - x o + v → y y - y o + v → z z - z o = 0

Se você quiser saber mais sobre essa fórmula e como ela funciona dá uma olhada nas vídeo aulas aqui mesmo do Responde Aí!

Passo 5

Show de bola, agora que a gente só aplica o que a gente tem na equação:

v → x x - x O + v → y y - y O + v → z z - z O = 0

3 x - ( 1 ) + 3 y - 2 + 3 z - ( 0 ) = 0

→ 3 x - 3 + 3 y - 6 + ( 3 z ) = 0

→ 3 x + 3 y + 3 z - 9 = 0

→ 3 x + 3 y + 3 z = 9

→ x + y + z = 3

Resposta

x + y + z = 3

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