Enunciado

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = f ( x ) em x = x 0 , se:

f x = ln ⁡ x

x 0 = e - 1

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Mas primeiro, vamos retornar ao conceito inicial de derivada.

Por definição derivada é a inclinação da reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto P ( a , f a ) que é definida como a reta que passa em P e tem inclinação m , se:

m = lim h → 0 ⁡ f a + h - f ( a ) h

E se forçarmos um poquinho a memória, esse limite é a definição da derivada f ' a . Então, falar que queremos a inclinação da reta, é a mesma coisa que dizer que queremos a derivada da função f em a .

Agora, vamos falar da cereja no bolo. O exercício pede a equação da reta, certo? Existe uma fórmula para isso, e pode ser dada por:

y - y o = m ( x - x 0 )

Agora, lembrando que o exercício nos fornece a função   f ( x ) e x 0 , então, por consequência nós temos a coordenada de pontos ( x 0 , y 0 ) .

Além disso, como nós já temos a função, podemos fazer a derivação e encontrar m (que é a inclinação da reta). Bora calcular ?

Passo 2

Primeiramente, nós temos a função f x = l n ⁡ ( x ) no ponto   x 0 = e - 1 , então calcularemos a função no ponto dado:

f x = ln ⁡ x

f e - 1 = ln ⁡ e - 1 = - 1

Então, a nossa coordenada é ( e - 1 , - 1 ).

A próxima coisa que faremos é calcular a derivada da função:

f x = ln ⁡ x

f ' x = 1 x

Logo:

m = 1 x

Substituindo o valor de x :

m = 1 e - 1

Com essas informações nós conseguimos encontrar a equação da reta.

Passo 3

Nós temos os termos x 0 , y o = e - 1 , - 1 ;   m = 1 e - 1   podemos aplicar na fórmula:

y - y o = m ( x - x 0 )

y - ( - 1 ) = 1 e - 1 ( x - e - 1 )

Isolando o valor de y ficamos com:

y = e x - 2

Resposta

y = e x - 2

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