Enunciado

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Encontre as equações para as retas que sejam tangente e normais à curva no ponto dado.

x 3 2 + 2 y 3 2 = 17

1 , 4

Passo 1

Para encontrarmo a reta tangente e a reta normal, precisamos da derivada no ponto que ele deu.

A equação da reta tangente vai ser:

y = a x + b

Onde a vai ser a derivada naquele ponto que ele deu.

A reta normal vai ser

y = m x + n

Onde essa reta é perpendicular À reta tangente, então

m . a = - 1

Tudo se resume a achar a maldita da derivada.

Mas antes de qualquer coisa, vamos verificar que o ponto de fato está na curva. Porque se não estiver a conta fica levemente grande.

Subistuindo:

x = 1 ,     y = 4

1 3 2 + 2 4 3 2 = 17

Lembrando que

a 3 2 = a 3

Vamos ter:

1 + 2 4 3 = 17

1 + 2 2 3 = 17

1 + 16 = 17

1 7 = 17

Ufa, deu igual dos dois lados. Vamos para a derivada implícita agora

Passo 2

Para acharmos essa derivada, temos que derivar cada lado da equação que ele deu no enunciado. E fazere a derivada implícita, lembrando que:

y = y x

Então quando derivarmos y , temos que colocar y ' junto. Porque é a regra da cadeia.

Começando com x 3 2 + 2 y 3 2 ,

x 3 2 + 2 y 3 2 ' = x 3 2 ' + 2 y 3 2 '

Não podemos esquecer o y ' quando derivamos o y 3 2

x 3 2 + 2 y 3 2 ' = 3 2 x 1 2 + 2 3 2 y 1 2 y '

O lado esquerdo vai ficar:

3 2 x 1 2 + 3 y 1 2 y '

Passo 3

Vamos para o outro lado

17 ' = 0

Dessa forma vamos ter, na nossa equação:

3 2 x 1 2 + 3 y 1 2 y ' = 0

Vamos isolar o y '

3 y 1 2 y ' = - 3 2 x 1 2

Vamos passar o 3 y 1 2 dividindo para o outro lado.

y ' = - 3 2 x 1 2 3 y 1 2

Juntando as potências de x e depois as de y

y ' = - x 1 2 2 y 1 2

Passo 4

Agora que temos a derivada, vamos achar o valor de a da equação da tangente e de m da reta normal.

y ' 1 , 4 = - 1 1 2 2 4 1 2

Lembrando que:

4 1 2 = 4 = 2

Então:

y ' 1,4 = - 1 2 . 2

y ' 1,4 = - 1 4

Assim:

a = - 1 4

E

- 1 4 m = - 1

m = 4

Vamos aos outros coeficientes das duas retas

Passo 5

Reta tangente:

y = - 1 4 x + b

Reta normal:

y = 4 x + n

Ambas passam no ponto 1 , 4 , então basta fazermos:

x = 1

y = 4

Começando na tangente:

4 = - 1 4 1 + b

4 = - 1 4 + b

b = 4 + 1 4

b = 17 4

Agora na normal:

4 = 4 1 + n

4 = 4 + n

n = 0

AS retas ficam:

Reta tangente:

y = - 1 4 x + 17 4

Reta normal:

y = 4 x

Resposta

Reta tangente:

y = - 1 4 x + 17 4

Reta normal:

y = 4 x

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