Enunciado

Encontre o limite dado interpretando a expressão como uma derivada apropriada.

lim ω → 2 ⁡ 3 arc sec ⁡ ω - π ω - 2

Passo 1

O que essa questão quer é basicamente que a gente lembre da definição de derivadas a partir de limites, lembra?

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f ( x 0 ) h    

A primeira coisa que podemos fazer para deixar o limite da questão mais parecido co o limite da definição de derivadas é o seguinte:

ω - 2 = u

ω → 2   ∴     u → 0

Reescrevendo nosso limite teremos:

lim u → 0    ⁡ 3 arc sec  ⁡ ( u + 2 ) - π u

Concorda que o limite agora se assemelha bastante com o limite da definição de derivadas? Agora precisamos pensar em uma função f x   e um x 0   tal que:

f x 0 + h =   3 arc sec  ⁡ ( u + 2 )

E

f x 0 = π

Passo 2

É bem provável que a nossa função desejada seja do tipo f x =   3   a r c   s e c k x , com k   sendo uma constante.

Tá, mas e o nosso x 0 ? Como vamos descobrir ele?

Já que não temos muitas pistas, vamos testar então:

f x =   3   a r c   s e c x

Como f x 0 = π

f x 0 =   3   a r c   s e c x 0 = π

a r c sec ⁡ x 0 = π 3         ⇒       x 0 = sec ⁡ ( π / 3 ) = 2  

Então as expressões que interessam a gente são:

f x 0 + h = f 2 + h =   3   a r c   s e c h + 2  

E

f x 0 = f 2 =   3   a r c   s e c 2 = 3 π 3 = π  

Nosso limite ficaria assim:

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f ( x 0 ) h       =     lim h → 0    ⁡ 3 arc sec  ⁡ ( h + 2 ) - π h

Opaaa percebe que apareceu exatamente o limite que estamos interessados?

Passo 3

Chegamos à conclusão de que o limite pedido nada mais é do que a derivada da função escrita de um jeito diferente, ou seja, usando a definição de derivadas.

f x =   3   a r c   s e c x

E estamos interessados na derivada no ponto x 0 = 2 .

Derivando nossa função:

f ' ( x ) = [ 3   a r c   s e c x ] '

Aí precisamos buscar na memória a derivada de arco secante, lembra?

[ a r c sec ⁡ ( x ) ] ' = 1 x x 2 - 1

Então na nossa função fica assim:

f ' ( x ) = d d x [ 3   a r c   s e c x ]   =     3 d d x [ a r c   s e c x ]

f ' x = 3   1 x x 2 - 1

f ' x = 3 x x 2 - 1

Fazendo x = x 0 = 2

f ' x 0 = f ' 2 = 3 2 ( 2 ) 2 - 1

f ' 2     =   3 2 3   =   3 2

O valor do limite é:

lim u → 0    ⁡ 3 arc sec  ⁡ ( u + 2 ) - π u =     3 2

Pois ele é nada mais do que a derivada da função escrita de um jeito diferente, ou seja, usando a definição de derivadas.

Resposta

lim ω → 2 ⁡ 3 arc sec ⁡ ω - π ω - 2 = lim u → 0    ⁡ 3 arc sec  ⁡ ( u + 2 ) - π u =     3 2

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