Enunciado

Encontre o limite dado interpretando a expressão como uma derivada apropriada.

lim x → 0 ⁡ e x 2 - 1 x

Passo 1

O que essa questão quer é basicamente que a gente lembre da definição de derivadas a partir de limites, lembra?

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f ( x 0 ) h  

Concorda que o limite da questão se assemelha um pouco com o limite da definição de derivadas? Agora precisamos pensar em uma função f x   e um x 0   tal que:

f x 0 + h =     e x 2

E

f x 0 = 1

Passo 2

É bem provável que a nossa função desejada seja do tipo e k x , , com k   sendo uma constante e o nosso x 0 = 0 , pois e 0 = 1 e isso já garantiria que f x 0 = 1 .

Vamos testar então

f x = e x 2             ;             x 0 = 0

Então as expressões que interessam a gente são:

f x 0 + h = f 0 + h =     f h = e h 2

E

f x 0 = f 0 = e 0 = 1

Nosso limite ficaria assim:

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f ( x 0 ) h       =       lim h → 0 ⁡     e h 2 - 1 h  

Opaaa percebe que apareceu exatamente o limite que estamos interessados?

Passo 3

Chegamos à conclusão de que o limite pedido nada mais é do que a definição de derivada para a função

f x = e x 2

No ponto x 0 = 0 .

Derivando nossa função:

f ' x = ( e x 2 ) '

f ' x = ( x 2 ) '   e x 2 = 2 x e x 2  

Fazendo x = x 0 = 0

f ' x 0 = f ' 0 = 2   0 e 0 = 0

O valor do limite é:

lim x → 0 ⁡ e 3 x - 1 x = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ e x 2 - 1 x = 0

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →