Enunciado

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Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x   t g   π x / 2

Passo 1

A questão pede para calcularmos o limite usando, se for possível, a regra de L’Hospital. Vale lembrar que só podemos usar essa regra se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou / . Se der para resolver o limite sem usar a regra, devemos fazer assim!!!

Passo 2

Quando x → 1 + , ln ⁡ x → 0 e t g π x / 2 → ∞ , de modo que o limite é indeterminado. Todavia, para aplicarmos a regra de L’Hospital, a indeterminação deve estar na forma 0/0 ou / . Usando c o t g   θ = 1 / t g   θ , podemos escrever o limite como:

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x   t g   π x / 2 = lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x c o t g   ( π x / 2 )

Agora a indeterminação é do tipo 0/0, de modo que podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Aplicando a regra e lembrando que c o t g   x ' = - c o s s e c 2   x , temos que

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x c o t g   ( π x / 2 ) = lim x → 1 + ⁡ 1 x - π 2     c o s s e c 2 ( π x / 2 ) = - 2 π lim x → 1 + ⁡ s e n 2 ( π x / 2 ) x = - 2 π   s e n 2 ( π / 2 ) 1

Assim,

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x   t g   π x / 2 = lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x c o t g   ( π x / 2 ) = - 2 π

Resposta

- 2 / π .

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3   x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t g   x x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ a r c s e n   2 x x  
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for
Encontre o erro nos seguintes cálculos:E em seguida encontre a respost
Calculem) lim x → 0 ⁡ sec 3 ⁡ x 1 - cos ⁡ x
Calculec) lim x → 0 + ⁡ x e 1 x
Calculea) lim x → 1 - ⁡ x 4 - 2 x 3 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1
Encontre o limite. lim x → + ∞ ⁡ x 100 e x