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Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 4.4 - Ex. 27

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Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ tgh ⁡ x tg ⁡ x

Passo 1

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ tgh ⁡ x tg ⁡ x → tgh ⁡ 0 tg ⁡ 0 → e 0 - e - 0 e 0 + e - 0 0 → 1 - 1 1 + 1 0 → 0 0

Temos a indeterminação da forma 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 0 ⁡ tgh ⁡ x tg ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sech 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 1 cosh 2 ⁡ x 1 cos 2 ⁡ x = lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x cosh 2 ⁡ x = lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x e x + e - x 2 2 = cos 2 ⁡ x e x + e - x 2 2 = cos 2 ⁡ 0 e 0 + e - 0 2 2 = 1 1 + 1 2 2 = 1 2 2 2 = 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ tgh ⁡ x tg ⁡ x = 1

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