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Encontre os limites

31. lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 3 - x

Passo 1

Pra alguns casos de limites no infinito, se imediatamente aplicamos ± ∞ em x , a gente chega à reposta que o limite é igualmente infinito, logo, não existe.

Porém, fazendo algumas pequenas alterações na função a gente consegue ver que, na realidade, o limite existe, sim. E os casos em que a gente tem radicais isso acontece com frequência.

Se conseguimos simplificar os radicais, simplificando a nossa função como um todo, podemos chegar a um resultado numérico pro limite, em boa parte dos casos.

O melhor modo pra fazer isso é a racionalização. Vamos ver melhor abaixo

Passo 2

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 3 - x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 3 - x ∙ x 2 + 3 + x x 2 + 3 + x

Aqui a gente multiplica (em cima e em baixo pra manter a igualdade) pelo conjugado, pra chegarmos no produto notável do tipo ( a 2 - b 2 ) . Assim, nos livramos do radical no numerador, e podemos fazer uma simplificação interessante:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 3 - x ∙ x 2 + 3 + x x 2 + 3 + x = l i m x → + ∞ x 2 + 3 - x 2 x 2 + 3 + x =

= l i m x → + ∞ 3 x 2 + 3 + x

Passo 3

Agora, não tem muito mais o que fazer, senão aplicar + ∞ em x e calcular o limite. Teremos:

= l i m x → + ∞ 3 x 2 + 3 + x = 3 ∞ 2 + 3 + ∞ =

= 3 ∞ = 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 3 - x = 0

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