Enunciado

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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ n x n

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1   x n + 1 n x n = lim n → ∞ ⁡ x n ∙ x ∙ n + 1 n x n = x ∙ lim n → ∞ ⁡ n + 1 n = x

Passo 2

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para x < 1 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 1 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série converge para o intervalo ( - 1,1 ) em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = - 1 e x = 1 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = - 1 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n , uma série divergente.

Já para x = 1 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ n , outra série divergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = ( - 1,1 )

Resposta

R = 1   e   I = ( - 1,1 )

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