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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln ⁡ n

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x n + 1 4 n + 1 ln ⁡ n + 1 - 1 n x n 4 n ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ x n ∙ x 4 n ∙ 4 ∙ ln ⁡ n + 1 ∙ 4 n ln ⁡ n x n

Resolvendo o limite acima, temos:

lim n → ∞ ⁡ x n ∙ x 4 n ∙ 4 ∙ ln ⁡ n + 1 ∙ 4 n ln ⁡ n x n = x 4 ∙ lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ n + 1 = x 4

Passo 2

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para x 4 < 1 , ou seja, para x < 4 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 4 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série converge para o intervalo ( - 4 , 4 ) em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = - 4 e x = 4 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = - 4 , ficamos com a série ∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n . Uma vez que ln ⁡ n < n para n > 2 , 1 ln ⁡ n > 1 n para n > 2 . Desta forma, ∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n > ∑ n = 2 ∞ 1 n (série harmônica divergente). Portanto, a série analisada é divergente.

Já para x = 4 , ficamos com a série ∑ n = 2 ∞ - 1 n ln ⁡ n , que, pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = ( - 4 , 4 ]

Resposta

R = 4   e   I = ( - 4 , 4 ]

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