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Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que R n x → 0 .]

f x = cos ⁡ x ,                     a = π

Passo 1

A série de Taylor é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! ( x - a ) n

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = a , neste caso a = π

f x = cos ⁡ x ⇒ f π = - 1

f ' x = - sen ⁡ x ⇒ f ' π = 0

f ' ' x = - cos ⁡ x ⇒ f ' ' π = 1

f ' ' ' x = sen ⁡ x ⇒ f ' ' ' π = 0

f ' ' ' ' x = cos ⁡ x ⇒ f ' ' ' ' π = - 1

Podemos achar o padrão, de forma geral para as derivadas pares f 2 n π = - 1 n + 1   e para as ímpares f 2 n + 1 π = 0

Passo 2

Então temos que a série de Taylor para f ( x ) é

∑ n = 0 ∞ f n π n ! ( x - π ) n = ∑ n = 0 ∞ f 2 n π ( 2 n ) ! ( x - π ) 2 n

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 ( x - π ) 2 n 2 n !

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 ( x - π ) 2 n 2 n !

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