Enunciado

5. Encontre a solução u r ,   θ da equação de Laplace

u r r + 1 r u r + 1 r 2 u θ θ = 0

Fora do círculo r = a que satisfaça as condições de contorno

u a ,   θ = f θ ,   0 ≤ θ < 2 π

Sobre o círculo. Suponha que u r ,   θ está bem definida e é limitada para r > a .

Passo 1

Enunciando a Equação de Laplace em coordenadas polares:

r 2 ∂ 2 u ∂ r 2 + r ∂ u ∂ r + ∂ 2 u ∂ θ 2 = 0

Fazendo a separação de variáveis:

u r , θ = R r Θ θ

Substituindo na equação e utilizando notação conveniente:

r 2 R ' ' Θ + r R ' Θ + R Θ ' ' = 0

Passo 2

Agrupando termos:

Θ r 2 R ' ' + r R ' = - R Θ ' '

E isolando:

r 2 R ' ' + r R ' R = - Θ ' ' Θ

Igualando ambas as expressões a uma constante λ arbitrária:

r 2 R ' ' + r R ' R = λ → r 2 R ' ' + r R ' - λ R = 0

- Θ ' ' Θ = λ → Θ ' ' + λ Θ = 0

Passo 3

Agora vamos avaliar quais faixas de valores de λ são possíveis para a solução. Estudando a equação em θ , tentamos λ = 0 :

Θ ' ' = 0 → Θ θ = a θ + b

Entretanto, como Θ deve ser 2 π -periódica, essa solução só funciona para a = 0 . Portanto temos:

Θ θ = b

Passo 4

Testando λ > 0 , fazemos:

λ = μ 2 ,       μ > 0

Supondo μ > 0 por simplicidade, de forma que μ = μ . Seguindo:

Θ ' ' + μ 2 Θ = 0

Que tem equação característica:

α 2 + μ 2 = 0 → α = ± i μ

Que resulta na solução:

Θ θ = a 1 cos ⁡ μ θ + a 2 sen ⁡ μ θ

Como essa solução é 2 π -periódica para todo μ , está valendo.

Passo 5

Por fim, testamos λ < 0 . Fazendo:

λ = - μ 2 ,       μ > 0

Plugando na equação:

Θ ' ' - μ 2 Θ = 0

Que tem equação característica:

α 2 - μ 2 = 0 → α = ± μ

Resultando na solução:

Θ θ = b 1 e μ θ + b 2 e - μ θ

Esta solução não é 2 π -periódica para quaisquer valores de μ , portanto concluímos que:

b 1 = b 2 = 0

Passo 6

Como para todo μ > 0 a solução trigonométrica funciona, fazendo μ = k (por elegância), temos então a autofunção de Θ :

Θ k θ = b + A k cos ⁡ k θ + B k sen ⁡ k θ

E a solução geral seria:

Θ θ = b + ∑ k = 1 ∞ a k cos ⁡ k θ + b k sen ⁡ k θ

Substituindo os valores válidos de λ na equação em r , temos para λ = 0 :

r 2 R ' ' + r R ' = 0

Arrumando:

r r R ' ' + R ' = 0

Como buscamos uma solução R ( r ) para todo r , a solução r = 0 não interessa. Segue:

r R ' ' + R ' = 0

Passo 7

Arrumando mais para podermos integrar:

r R ' ' = - R '

R ' ' R ' = - 1 r

Integrando ambos os lados:

ln ⁡ R ' = - ln ⁡ r + c 1

Pra quem lembra dos macetes de Cálculo 1:

c 1 ↔ ln ⁡ c 1

- ln ⁡ r + ln ⁡ c 1 = - ln ⁡ r c 1

ln ⁡ R ' = - ln ⁡ r c 1

R ' = c 1 r

Caso você não tenha sacado, pode resolver de outros jeitos.

Integrando novamente:

R = c 1 ln ⁡ r + c 2

Mas tenha em mente que a solução u precisa ser periódica 2 π para ela estar bem definida, o que significa que c 1 deve ser 0 . Afinal, se ele não for 0 a solução não será periódica! Saca? Então...

R = c 2

Passo 8

Testando a outra faixa possível λ > 0 , fazemos λ = μ 2 , μ > 0 :

r 2 R ' ' + r R ' - μ 2 R = 0

Que é a famosa equação de Euler. Fazendo a solução genérica:

R = r p

Plugamos: r 2 p p - 1 r p - 2 + r p r p - 1 - μ 2 r p = 0

p p - 1 r p + p r p - μ 2 r p = 0

Como r p ≠ 0 para todos valores de p :

r p p p - 1 + p - μ 2 = 0

p 2 - p + p - μ 2 = 0

p 2 - μ 2 = 0 → p = ± μ

As soluções então são:

R r = d 1 r μ + d 2 r - μ

Passo 9

Como a solução não pode explodir em nenhum ponto da nossa Região, e como estamos falando de uma região fora do círculo, se r tender ao infinito, temos que permanecer com uma solução que não explode isso significa que o termo d 1 tem que ser 0 .

Logo, podemos falar que o conjunto fundamental de soluções de R deve ser...

R k r = r - k

Plugando na autofunção geral:

u k r , θ = R k r Θ k θ

u k r , θ = r - k A k cos ⁡ k θ + B k sen ⁡ k θ

Sem esquecer que temos também a solução constante:

u 0 r , θ = c 0

A solução geral portanto fica:

u r , θ = c 0 + ∑ k = 1 ∞ r - k A k cos ⁡ k θ + B k sen ⁡ k θ

Passo 10

Precisamos agora determinar os coeficientes A k e B k . Utilizando a última condição que sobrou do enunciado:

u a ,   θ = f θ

Basta substituir o a na função...

u a , θ = c 0 + ∑ k = 1 ∞ a - k A k cos ⁡ k θ + B k sen ⁡ k θ

Como à esquerda temos uma série de Fourier da função f θ , os coeficientes podem ser encontrados pelas fórmulas:

a - k A k = 2 P ∫ 0 P f θ cos ⁡ 2 π k θ P d θ

a - k B k = 2 P ∫ 0 P f θ sen ⁡ 2 π k θ P d θ

Como a função f θ é 2 π -periódica, temos que P = 2 π . Descobrimos os coeficientes:

A k = 1 π a - k ∫ 0 P f θ cos ⁡ k θ d θ

B k = 1 π a - k ∫ 0 2 π f θ sen ⁡ k θ d θ

Resposta

u r , θ = c 0 + ∑ k = 1 ∞ r - k A k cos ⁡ k θ + B k sen ⁡ k θ

A k = 1 π a - k ∫ 0 P f θ cos ⁡ k θ d θ

B k = 1 π a - k ∫ 0 2 π f θ sen ⁡ k θ d θ

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