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Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

x = 2 sen ⁡ t

y = 3 cos ⁡ t

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

A derivada primeira da curva é dada por

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y :

y = 3 cos ⁡ t

d y d t = - 3 sen ⁡ t

Agora a derivada de x :

x = 2 sen ⁡ t

d x d t = 2 cos ⁡ t

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = - 3 sen ⁡ t 2 cos ⁡ t = - 3 2 tan ⁡ t

Passo 3

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

Então, vamos pegar a derivada d y d x e derivar em relação a t e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de x em relação a t nós já temos.

d y d x = - 3 2 tan ⁡ t

d d t d y d x = - 3 2 sec 2 ⁡ t

Passo 4

Já temos tudo, então agora é só substituir.

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t = - 3 2 sec 2 ⁡ t 2 cos ⁡ t

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t = - 3 2 ∙ 1 cos 2 ⁡ t 2 cos ⁡ t

d 2 y d x 2 = - 3 4 cos 3 ⁡ t

d 2 y d x 2 = - 3 4 sec 3 ⁡ t

Passo 5

Para descobrir para quais valores de t a curva é côncava para cima, precisamos fazer

d 2 y d x 2 = - 3 4 sec 3 ⁡ t > 0

Essa derivada segunda aí vai ser maior do que zero quando sec ⁡ t < 0 , por causa daquele sinal de menos ali na frente.

E isso acontece quando cos ⁡ t < 0 .

E isso acontece quando

π 2 < t < 3 π 2

Resposta

d y d x = - 3 2 tan ⁡ t

d 2 y d x 2 = - 3 4 sec 3 ⁡ t

A concavidade da curva é para cima quando π 2 < t < 3 π 2 .

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