Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 4.1 - Ex. 61

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Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado

f x = ln ⁡ x 2 + x + 1 ,     [ - 1,1 ]

Passo 1

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de f para encontrar os números críticos. Então

f ' x = 2 x + 1 x 2 + x + 1

Igualando a zero

2 x + 1 x 2 + x + 1 = 0

No numerador

2 x + 1 = 0

x = - 1 2

Se o denominador for igual a zero, teremos que f ' ( x ) não estará definido, então também teremos um número crítico, logo, igualando o denominador a zero, ficamos com

x 2 + x + 1 = 0

Pela fórmula de Baskara

∆ = 1 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = - 3

Como ∆ < 0 essa equação não apresenta uma raiz real, então, no domínio dos números reais, o denominador de f ' ( x ) nunca será zero.

Passo 2

Aplicando o método do intervalo fechado, necessitamos calcular f - 1 ,     f - 1 2   e   f ( 1 ) . Então

f - 1 ≈ 0

f - 1 2 ≈ - 0,29

f 1 ≈ 1,1

Com isso podemos ver que f 1 ≈ 1,1 é um ponto de máximo absoluto e f - 1 2 ≈ - 0,29 é um ponto de mínimo absoluto.

Resposta

f 1 ≈ 1,1 é um ponto de máximo absoluto e f - 1 2 ≈ - 0,29 é um ponto de mínimo absoluto.

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