Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1 - Capítulo 5.Revisão - Ex. 45

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Esboce a curva e encontre a área total entre ela e o intervalo dado no e i x o   x .

y = x 2 - 1 ,         [ 0 ,   3 ]

Passo 1

A primeira coisa que faremos é analisar o ponto onde a função é nula, onde:

y = x 2 - 1 = 0

x 2 = 1

Agora, podemos subdividir nossa função em dois intervalos, de :

0 ≤ x ≥ 1   ( n e g a t i v o   e   à   e s q u e r d a )

1 ≤ x ≤ 3   ( p o s i t i v o   e   à   d i r e i t a )

Esses serão nossos limites de integração, reescrevendo a integral temos:

∫ 1 3 x 2 - 1   d x = - ∫ 0 1 x 2 - 1 d x + ∫ 1 3 x 2 - 1 d x

Resolvendo a integral, temos:

∫ 1 3 x 2 - 1   d x = - 1 x 3 3 - x 0 1 + 1 x 3 3 - x 1 3

∫ 1 3 x 2 - 1   d x = - 1 . 1 3 3 - 1 + 1 . 0 3 3 - 0 + 1 . 3 3 3 - 3 - 1 . 1 3 3 - 1

∫ 1 3 x 2 - 1   d x = 22 3  

Passo 2

Esboçando a função, percebemos que ela é contínua de 0 até 1, se torna descontínua, e retorna a ser contínua em 1 até 3.

Resposta

∫ 1 3 x 2 - 1   d x = 22 3

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