Enunciado

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Esboce o gráfico de

F x = ∫ - ∞ x f t   d t

onde

f t = 0 s e   t > 1 1 - t 2 s e   t ≤ 1

Passo 1

Primeiramente, vamos olhar para f ( x ) graficamente

Podemos separar então a nossa função F ( x ) em três etapas, para x < - 1 , para - 1 ≤ x ≤ 1 e x > 1 . Essa separação se deve pela própria separação da função f ( t ) .

Passo 2

Então vamos analisar cada etapa:

Se x < - 1

F x = ∫ - ∞ x f t   d t = ∫ - ∞ x 0   d t = 0

Se - 1 ≤ x ≤ 1

F x = ∫ - ∞ x f t   d t = ∫ - ∞ - 1 0   d t + ∫ - 1 x ( 1 - t 2 )   d t

= ∫ - 1 x ( 1 - t 2 )   d t = t - t 3 3 - 1 x

= x - x 3 3 - - 1 + - 1 3 3

= x - x 3 3 + 2 3

Se x > 1

F x = ∫ - ∞ x f t   d t = ∫ - ∞ - 1 0   d t + ∫ - 1 1 ( 1 - t 2 )   d t + ∫ 1 x 0   d t

= ∫ - 1 1 ( 1 - t 2 )   d t = t - t 3 3 - 1 1

= 1 - 1 3 3 - - 1 + - 1 3 3

= 4 3

Podemos então definir a função como

F x = x - x 3 3 + 2 3 s e   - 1 ≤ x ≤ 1 4 3 s e   x > 1 0 s e   x < - 1

Passo 3

Vamos então esboçar o gráfico de F ( x ) no plano:

Resposta

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