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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 1 6ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 6ª Edição - James Stewart - 7.8 - 43

Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita).

S = x , y   |   0 ≤ y ≤ 2 x 2 + 9

Passo 1

A questão pede para fazermos um esboço da região e tentar sua área. A área que queremos calcular é a da região entre o eixo x e a curva:

Essa área é representada por

A = ∫ - ∞ ∞ 2 x 2 + 9   d x

Assim,

A = ∫ - ∞ 0 2 x 2 + 9 d x + ∫ 0 ∞ 2 x 2 + 9 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos tentar calcular a segunda integral imprópria primeiro:

∫ 0 t 2 x 2 + 9 d x = 2 3 a r c t g   x 3 0 t = 2 3 a r c t g   t - 2 3 a r c t g   0 = 2 3 a r c t g   t 3

Fazendo t → ∞ , temos que

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t 2 x 2 + 9 d x = 2 3 ⋅ π 2 = π 3

Passo 3

Analogamente para a primeira integral:

∫ t 0 2 x 2 + 9 d x = - 2 3 a r c t g   t 3

Assim,

lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 2 x 2 + 9 d x = - 2 3 ⋅ - π 2 = π 3

Assim,

A = ∫ - ∞ 0 2 x 2 + 9 d x + ∫ 0 ∞ 2 x 2 + 9 d x = π 3 + π 3 = 2 π 3

Resposta

2 π 3

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