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Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.

∫ 0 π / 6 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 3 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ   d θ   d ϕ

Passo 1

Show de bola, galera! Nosso primeiro passo será identificar a região cujo volume vamos calcular em função dos limites de integração, beleza?

Vamos lá...Olhando para os nossos limites de integração, vemos que a região sólida na qual estamos interessados é dada por:

R = ρ , θ , ϕ | 0 ≤ ρ ≤ 3 ,   0 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ ϕ ≤ π 6

Esboçando essa região, temos:

Show....Agora partiu calcular a integral?

Passo 2

Vamos lá!

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 ρ 3 3 sen ⁡ ϕ 0 3 d θ d ϕ =

= ∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 27 3 sen ⁡ ϕ d θ d ϕ = ∫ 0 π 6 9 π 2 sen ⁡ ϕ d ϕ =

- 9 π 2 cos ⁡ π 6 - cos ⁡ 0 = 9 π 2 1 - 3 2

Logo,

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = 9 π 2 1 - 3 2

Resposta

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = 9 π 2 1 - 3 2

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Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.(a) 5 , π , π / 2 (b) 4 ,   3 π / 4 , π / 3
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada.Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo...
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2   e - x 2 + y 2 + z 2   d x   d y   d z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma ...
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x y   d z   d y   d x
Utilize as coordenadas esféricas.a) Determine o volume do sólido que está acima do cone ϕ = π / 3 e abaixo da esfera ρ = 4 cos ⁡ ϕ .b) Encontre o centroide do sólido da parte (a).
Descreva com palavras a superfície cuja equação é dada. ϕ = π / 3
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a. ∫ 0 2 π ∫ π / 2 π ∫ 1 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ   d ϕ   d θ
Identifique a superfície cuja equação é dada. ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ = 9
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 2 ≤ ρ ≤ 3 ,   π / 2 ≤ ϕ ≤ π
Mude de coordenadas retangulares para esféricas.(a) 1 , 3 , 2 3 (b) 0 , - 1 , - 1
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. ρ ≤ 2 ,   0 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,   0 ≤ θ ≤ π / 2