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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 7ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 7ª Edição - James Stewart - 10.6 - 5

Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e com os dados fornecidos.

P a r á b o l a ,         v é r t i c e   e m   4 ,   3 π 2

Passo 1

Beleza, pessoal? Vamos escrever uma equação polar pra essa parábola, você lembra como é a fórmula? Bom, existem algumas possibilidades, né mesmo?

r = e d 1 ± e cos ⁡ θ       o u       r = e d 1 ± e   s e n   θ

Então, qual usar? Pra poder escolher, a gente precisa de mais algumas informações sobre a reta diretriz, né? Mas o enunciado só nos deu o vértice, que chato!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Porém, podemos usar o fato de que o vértice de uma parábola fica a meio caminho entre o foco e a reta diretriz, certo? Vamos primeiro passar as coordenadas polares do vértice para coordenadas retangulares, ok?

x = r cos ⁡ θ = 4 cos ⁡ 3 π 2 = 0

y = r   s e n   θ = 4   s e n 3 π 2 = - 4

Então, nosso vértice está no ponto 0 ,   - 4 . Como o foco está na origem 0 ,   0 , só nos resta dizer que a reta diretriz é y = - 8 . Veja o desenho a seguir pra visualizar isso melhor:

Passo 3

Show! Agora que a gente sabe que a reta diretriz é paralela ao eixo x e está abaixo desse eixo, podemos escrever a fórmula:

r = e d 1 - e   s e n   θ

Como estamos falando de parábola, já sabemos que e = 1 . E como a reta diretriz tem equação y = - 8 , então d = 8 .

r = 8 1 - s e n   θ

Resposta

r = 8 1 - s e n   θ

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