Enunciado

Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [ a ,   b ] . Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f ( x )   =   x 2 . Se seu recurso computacional efetuar somatórios automaticamente, estime a área especificada usando n   =   10 ,   50 e 100 retângulos. Caso contrário, estime a área usando n   =   2 ,   5 e 10 retângulos.

f x = a r c t g   x ; a , b = [ 0 , 1 ]

Passo 1

Cara, ele já deu a dica do esquema que a gente tem que usar. É só seguir o passo a passo do exemplo da teoria para aproximar a área como uma soma de n retângulos.

Vem ver como isso fica para nossa função.

Passo 2

A primeira coisa é dividir o nosso intervalo em n intervalos iguais e menores. Nosso intervalo é

[ 0 , 1 ]

O comprimento dele é

1 - 0 = 1

Dividindo 1 por n , ficamos com

1 n

Esse vai ser o comprimento de cada subintervalo. E as extremidades direitas de cada intervalo ficam em

x =   1 n ,   2 n ,   3 n , … , n - 1 n ,   1

A gente sai de 0   e vai somando 1 / n até chegar em 1 . Repara que 0 não é uma extremidade direita do nosso subintervalo, então a gente não conta com ele.

Passo 3

Agora está na hora de construir os retângulos em cada intervalo. Vamos usar os valores de x para isso. Como nossa função é a r c t g   x . As alturas serão os valores dessa função em cada extremidade x de intervalo:

f x = arc tg ⁡ 1 n ,   arc tg ⁡ 2 n , arc tg ⁡ 3 n , … , arc tg ⁡ n - 1 n , arc tg ⁡ 1

Então, cada retângulo tem essas alturas f ( x ) e largura 1 / n (comprimento do subintervalo).

Passo 4

A área que a gente quer calcular vai ser a soma de todos esses retângulos de área 1 n ⋅ f x   :

A n = 1 n arc tg ⁡ 1 n +   arc tg ⁡ 2 n + arc tg ⁡ 3 n + … + arc tg ⁡ n - 1 n + arc tg ⁡ 1

Passo 5

Agora é só substituir os valores que de n que ele pede.

Para n = 2 :

A 2 = 1 2 arc tg ⁡ 1 2 + arc tg ⁡ 1 = 0,62452

Para n = 5 :

A 5 = 1 5 arc tg ⁡ 1 5 +   arc tg ⁡ 2 5 + arc tg ⁡ 3 5 + arc tg ⁡ 4 5 + arc tg ⁡ 1 = 0 , 51569

Para n = 10 :

A 10 = 1 10 arc tg ⁡ 1 10 +   arc tg ⁡ 2 10 + arc tg ⁡ 3 10 + … + arc tg ⁡ 9 10 + ar ctg ⁡ 1

A 10 = 0 , 47768

Usando a mesma fórmulinha para n = 50 e n = 100 (e um programinha de computador para fazer as continhas):

A 50 = 0 , 44666

A 100 = 0 , 44274

Resposta

A 2 = 0,62452

A 5 = 0,51569

A 10 = 0,47768

A 50 = 0,44666

A 100 = 0,44274

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