Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 16.3 - Ex. 15 b

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Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y =

b) x 3 + y 3 + z 3 - 3 x - 3 y - 3 z + 2

Passo 1

Vamos encontrar os pontos críticos primeiro. Vamos derivar a função,

∂ f ∂ x x , y = 3   x 2 - 3  

∂ f ∂ y x , y = 3 y 2 - 3  

∂ f ∂ z x , y = 3   z 2 - 3

Encontrando o número crítico,

∂ f ∂ x x , y = 0 =   ∂ f ∂ y x , y = ∂ f ∂ z x , y

Temos que

3   x 2 = 3   3 y 2 = 3 3   z 2 = 3  

Do sistema, temos:

x = y = z = 1

Nosso candidato a numero critico é o ponto ( 1,1 , 1 ) .

Passo 2

Vamos analisar se ele é mínimo ou máximo. Precisamos encontrar as derivadas que precisamos para completar as hessianas. Ou seja,

∂ 2 f ∂ x 2 x , y = 6 x

∂ 2 f ∂ y 2 x , y = 6 y

∂ 2 f ∂ z 2 x , y = 6 z

∂ 2 f ∂ x ∂ y   x , y = 0

∂ 2 f ∂ x ∂ z   x , y = 0

∂ 2 f ∂ y ∂ z   x , y = 0

Passo 3

Substituindo nas hessianas,

H = 6 0 0 0 6 0 0 0 6 = 216

e,

H 1 = 6 0 0 6 = 36

Pelas hipóteses da questão, temos que ( 1,1 , 1 ) temos um ponto de mínimo.

Resposta

( 1,1 , 1 ) temos um ponto de mínimo.

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