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Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 16.3 - Ex. 1g

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Estude com relação máximos e mínimos locais da função f x , y =

g) x 2 + 2 x y + 4 y 2 - 6 x - 12 y 3    

Passo 1

Perceba que analisar o máximo e o mínimo local de f x , y = x 2 + 2 x y + 4 y 2 - 6 x - 12 y 3     corresponde à encontrar o máximo e mínimo da função f x , y =   x 2 + 2 x y + 4 y 2 - 6 x - 12 y , já que a função é crescente e para facilitar nossas contas.

Primeiro, vamos analisar os candidatos a máximo e mínimo, beleza? Para isso, vamos fazer as derivadas parciais,

∂ f ∂ x x , y = 2 x + 2 y - 6

E,

    ∂ f ∂ x x , y = 2 x + 8 y - 12

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os candidatos a máximo e mínimo.

∂   f ∂ x   x , y = 0   ∂   f ∂ y   x , y

Temos que

2 x + 2 y - 6   = 0 2 x + 8 y - 12 = 0

Organizando as contas,

2 x + 2 y = 6   2 x + 8 y = 12

Multiplicando a primeira equação por - 1

- 2 x - 2 y = - 6   2 x + 8 y = 12

Somando as equações,

6 y = 6 ⟹ y = 1  

Substituindo,

x = 2  

Logo, o candidato a ponto crítico é 2,1

Passo 3

Vamos analisar se o ponto é de máximo ou mínimo. Vejamos que

∂ 2 f ∂ x 2 2,1 = 2 > 0  

Vejamos que

∂ 2 f ∂ y 2 2,1 =   8

E,

∂ 2 f ∂ x ∂ y 2,1 = 2

Analisando a hessiana,

H x , y =   2 2 2 8   = 16 - 4 = 12 > 0  

Temos que o ponto de mínimo 2,1

Resposta

2,1

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