Enunciado

Estude a série dada com relação a convergência ou divergência:

(f) ∑ k = 2 + ∞ 1 k . ( ln ⁡ k ) . ln ⁡ ln ⁡ k α   ,   α > 1  

Passo 1

Segundo o critério da integral:

f x = 1 x   . ln ⁡ x . [  ln ⁡ ( ln ⁡ x ) ] α

Temos f x   contínua em [ 3 ; + ∞ [ , decrescente e positiva no mesmo intervalo.

Passo 2

Temos então:

∫ 3 + ∞ 1 x   . ln ⁡ x [ ln ⁡ ln ⁡ x ) α   d x    

Note que:

( ln ⁡ ln ⁡ x ) 1 - α 1 - α ' =   1 x   . ln ⁡ x [ ln ⁡ ln ⁡ x ) α  

Passo 3

Logo,

∫ 3 + ∞ 1 x   . ln ⁡ x [ ln ⁡ ln ⁡ x ) α   d x   = 1 1 - α ln ⁡ ln ⁡ x 1 - α ∞ 3

Temos que ln ⁡ ln ⁡ x 1 - α → ∞   quando x → ∞

Portanto,

∫ 3 + ∞ 1 x   . ln ⁡ x [ ln ⁡ ln ⁡ x ) α     d x = - ln ⁡ ln ⁡ 3 1 - α 1 - α

Resposta

Então, como

∫ 3 + ∞ 1 x   . ln ⁡ x [ ln ⁡ ln ⁡ x ) α     d x → C o n v e r g e

Concluímos que,

∑ k = 2 + ∞ 1 k . ( ln ⁡ k ) . ln ⁡ ln ⁡ k α   → C o n v e r g e   ,   α > 1

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →