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No Exercício   y = ∫ t g   x 0   1 1 + t 2   d t   , determine d y d x .

Passo 1

Para determinar o valor de d y d x vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: d d x ∫ a b f ( x ) ⁡ d x = f b . ( b ) '

Passo 2

Primeiro vamos reorguanizar a equação:

y = ∫ t g   x 0   1 1 + t 2   d t  

y = - ∫ 0 t g   x   1 1 + t 2   d t  

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos derivando dos dois lados:

d y d x = d d x   - ∫ 0 t g   x   1 1 + t 2   d t    

d y d x = - d d x ∫ 0 t g   x   1 1 + t 2   d t  

Após colocar a derivada dos dois lados basta aplicar o Teorema fundamental do Cálculo:

d y d x = - d d x   ∫ 0 t g   x   1 1 + t 2   d t  

= - 1 1 + ( t g   x ) 2     .   ( t g   x ) '

= - 1 1 + ( t g   x ) 2     . s e c 2 x

Vamos usar a identidade trigonométrica, sec 2 ⁡ x = 1 + t g 2   x , e agora substituimos:

= - 1 1 + ( t g   x ) 2     . s e c 2 x

= - 1 sec 2 ⁡ x     . s e c 2 x

= - 1

Resposta

d y d x = - 1

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