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No Exercício   y = ∫ 0 x t 3 + 1 10   d t 3 , determine d y d x .

Passo 1

Para determinar o valor de d y d x vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: d d x ∫ a b f ( x ) ⁡ d x = f b . ( b ) '

Passo 2

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos:

y = ∫ 0 x t 3 + 1 10   d t 3

d y d x = d d x ∫ 0 x t 3 + 1 10   d t 3  

Usando a regra da cadeia:

d y d x = d d x ∫ 0 x t 3 + 1 10   d t 3   .     d d x ∫ 0 x t 3 + 1 10   d t

d y d x = 3 . ∫ 0 x t 3 + 1 10   d t 2   .     d d x ∫ 0 x t 3 + 1 10   d t

Agora lados basta aplicar o Teorema fundamental do Cálculo:

d y d x = 3 . ∫ 0 x t 3 + 1 10   d t 2   .     d d x ∫ 0 x t 3 + 1 10   d t

= 3 . ∫ 0 x t 3 + 1 10   d t 2   .   x 3 + 1 10 . ( x ) '

= 3 . ∫ 0 x t 3 + 1 10   d t 2   .   x 3 + 1 10 . 1

= 3 . ∫ 0 x t 3 + 1 10   d t 2   .   x 3 + 1 10

Resposta

d y d x = 3 . ∫ 0 x t 3 + 1 10   d t 2   .   x 3 + 1 10

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