Enunciado

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No Exercício ∫ 1 2 ln ⁡ x x d x   , deduza uma primitiva do integrando. Verifique sua hipótese com derivação e, depois, calcule a integral definida dada. (Dica: tenha em mente a regra da cadeia ao deduzir uma primitiva. Você aprenderá como determinar primitivas desse tipo na próxima seção.)

Passo 1

O enuciado pede que a gente encontre a primitiva do integrando (que é o mesmo que o resultado da integral) por meio da dedução. Desse modo, precisamos pensar em uma espressão que derivada vai dar o valor do integrando. Após isso nós vamos derivar para poder confirmar se nossa dedução é real. Por último calculamos a integral definida.

Passo 2

Primeiro para facilitar vamos reorganizar

∫ 1 2 ln ⁡ x x d x   = ∫ 1 2 1 x . ln ⁡ x d x  

Deduzimos uma possível primitiva:

∫ 1 2 ln ⁡ x x d x   →   ( ln ⁡ x ) 2 2

Depois para confirmar derivamos a expressão encontrada:

d d x   ( ln ⁡ x ) 2 2 =   1 2   d d x ( ln ⁡ x ) 2  

Nesse caso usaremos a regra da cadeia

=   1 2   d d x ( ln ⁡ x ) 2 .   d d x   ln ⁡ x

=   1 2 . 2 . ln ⁡ x . 1 x

= ln ⁡ x x

Passo 3

O resultado acima confirma que nossa dedução esta correta . Então agora basta resolver a integral definida.

∫ 1 2 ln ⁡ x x d x   = ( ln ⁡ x ) 2 2 1 2

= ( ln ⁡ 2 ) 2 2 - ( ln ⁡ 1 ) 2 2

= ( ln ⁡ 2 ) 2 2 - 0 2 2

= ( ln ⁡ 2 ) 2 2

Resposta

∫ 1 2 ln ⁡ x x d x = ( ln ⁡ 2 ) 2 2  

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