Enunciado

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Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.

  1. A região limitada pela parábola y = x 2 - 3 e pela reta y = - 2 x 2 .

Passo 1

As duas funções se encontram em:

x 2 - 3 = - 2 x 2

x 2 + 2 x 2 = 3

3 x 2 = 3

x 2 = 1

x = ± 1

Qual função está acima da outra nesse intervalo?

Teste para x = 0 :

0 2 - 3 = - 3

- 2 × 0 2 = 0

Logo a função - 2 x 2 está acima da função x 2 - 3 no intervalo de -1 a 1.

Gráfico:

O gráfico não precisa estar perfeito, mas o entendimento sim.

Passo 2

Pela simetria podemos dizer que x - vale 0. Só precisando se preocupar com y - , e pela linha vertical podemos dizer que seu comprimento vale:

L = - 2 x 2 - x 2 + 3 = 3 ( - x 2 + 1 )

Que é a diferença entre as funções.

Sua largura vale d x , logo sua área vale:

d A = 3 1 - x 2 d x

E sua massa:

d m = 3 δ 1 - x 2 d x

E o y médio ( y m ) :

y m = - 2 x 2 + x 2 - 3 2 = - x 2 - 3 2

Passo 3

Calculando a massa:

M = ∫ - 1 1 3 δ 1 - x 2 d x = 2 × 3 δ ∫ 0 1 1 - x 2 d x = 6 δ x - x 3 3 0 1 = 6 δ 2 3 = 4 δ

Calculando o momento em relação a x temos:

M x = 2 × 3 δ ∫ 0 1 1 - x 2 - x 2 - 3 × 1 2 d x = 3 δ ∫ 0 1 - x 2 + x 4 - 3 + 3 x 2

M x = 3 δ ∫ 0 1 x 3 + 2 x 2 - 3 d x → 3 δ x 5 5 + 2 x 3 3 - 3 x 0 1

Aplicando o intervalo temos:

M x = - 32 5 δ

Agora calculando y - :

y - = - 32 5 δ 4 δ = - 8 5

Resposta

Centro de massa:

x - , y - = 0 , - 8 5

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