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Nos exercícios de 1 a 12, ache a derivada da função dada

11) h t =   1 3 s e c 3 2 t - s e c 2 t

Passo 1

Para resolvermos a derivada da função, primeiro aplicaremos a Regra da Cadeia sobre as duas funções secante. Primeiro faremos para 1 3 s e c 3 2 t . pegamos primeiro a potência e derivamos

d ( x 3 ) d x = 3 x 2

Agora substituímos x pelo que está dentro da potência e multiplicamos pela derivada do que está dentro

s e c 2 2 t   .   d ( s e c 2 t ) d t                   ( 1 )

Fazendo agora a derivada do que está dentro, aplicamos a Regra da Cadeia novamente, fazendo

d ( 2 t ) d t = 2

vezes a derivada da função secante,

d ( s e c x ) d x = t a n x s e c x

e colocamos 2t dentro dela:

d ( s e c 2 t ) d t = 2 t a n ( 2 t ) s e c ( 2 t )

Substituindo no resultado (1):

d 1 3 s e c 3 2 t d t = s e c 2 2 t   .   2 t a n ( 2 t ) s e c ( 2 t ) = 2 t a n ( 2 t ) s e c 3 ( 2 t )

Passo 2

Agora vamos fazer para a segunda parte da função - s e c 2 t , aplicamos novamente a Regra da Cadeia, e derivamos a parte de dentro da função secante:

d ( 2 t ) d t = 2

Usamos novamente a derivada da secante,

d ( s e c x ) d x = t a n x s e c x

E colocamos o 2t dentro dela, para então multiplicar pela derivada de 2t:

d ( - s e c 2 t ) d t = - 2 t a n ( 2 t ) s e c ( 2 t )

Passo 3

Basta juntar as duas agora:

f ' x = d 1 3 s e c 3 2 t - s e c 2 t d t =   2 t a n ⁡ ( 2 t ) s e c 3 2 t - 2 t a n ( 2 t ) s e c ( 2 t )

2 tan ⁡ 2 t s e c 3 2 t - 2 t a n 2 t s e c 2 t =   2 t a n 2 t s e c 2 t ( s e c 2 2 t - 1 )

2 t a n 2 t s e c 2 t t a n 2 2 t =   2 t a n ³ 2 t s e c 2 t

Resposta

f ' x = 2 s e c ⁡ ( 2 t ) t a n 3 2 t

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