Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Capítulo 5.10 - Ex. 6

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Nos exercícios 3 a 16, determinar os pontos críticos das funções dadas.

6. f ( x , y ) = cos 2 ⁡ x + y 2

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais:

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = - 2 c o x s e n x , 2 y

Igualando a zero, teremos:

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 0,0 → - 2 c o x s e n x = 0

                                                              2 y = 0

Agora, você lembra daquela identidade que relaciona a o seno da soma de dois ângulos??? Essa aqui:

s e n a + b = s e n a cos ⁡ b +   s e n b c o s ⁡ ( a )

Eu acho que vai ajudar muito a gente.

Vamos substituir e ver no que vai dar. Vem comigo.

- 2 c o s x s e n x = - s e n ( 2 x )

Passo 2

Aí, vamos ter o seguinte:

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 0,0 → - s e n 2 x = 0 → x = π 2   o u   x = 0

                  2 y = 0 → y = 0

Fazendo as combinações possíveis dos valores na primeira linha com os valores na segunda linha:

π 2 + 2 k π , 0 , 2 n π , 0   c o m   K , n ∈ Z

Perceba que nós podemos juntar essas duas soluções em uma única.

n π 2 , 0 , n ∈ Z

Como as derivadas parciais de primeira ordem existem em todo ( x , y ) ∈ D f , não há nenhum outro ponto crítico além dos que já encontramos.

Resposta

n π 2 , 0 , n ∈ Z

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