Enunciado

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Nos exercícios de 17 a 24, calcule a derivada indicada.

19. d d x x   t g 1 x

Passo 1

Para a gente resolver essa derivada, vamos precisar aplicar a Regra do Produto:

f x g x = f ' x g x + f x g ' ( x )

No caso da nossa derivada fica:

d d x ( x ) . t g 1 x + x d d x t g 1 x

Passo 2

A primeira derivada que apareceu é simples de resolver:

d d x x = 1

Passo 3

E a segunda vamos ter um pouco mais de trabalho, precisamos aplicar a Regra da Cadeia. A derivada da função de fora será:

d d x t g t = s e c 2 t

Então a gente substitui t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela, fica:

s e c 2 1 x d d x 1 x

Resolvendo a derivada que apareceu e fazendo o produto:

d d x t g 1 x = s e c 2 1 x .   - 1 x 2 = - s e c 2 1 x x 2

Passo 4

Agora vamos só substituir os nossos resultados na conta lá do Passo 1:

1 . t g 1 x + x . - s e c 2 1 x x 2

Reescrevendo

t g 1 x - s e c 2 1 x x

Resposta

f ' x = t g 1 x - s e c 2 1 x x

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