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Nos exercícios de 17 a 30, calcule a derivada indicada.

23 .     d d t t g   ( t ) cos ⁡ t - 4

Passo 1

Usaremos a regra do quociente para derivar a função.

Regra do quociente:

d d t f t g t =   d d t f t ⋅ g ( t ) - d d t g t ⋅ f ( t ) g ( t ) 2

Passo 2

Derivando:

d d t t g   t cos ⁡ t - 4 =   d d t t g   t ⋅ ( cos ⁡ t - 4 ) - d d t cos ⁡ t - 4 ⋅ t g   t ( cos ⁡ t - 4 ) ²

                                                                  =     s e c 2 t ⋅ cos ⁡ t - 4 - ( - s e n   t ) ⋅ t g   t ( cos ⁡ t - 4 ) ²

                                                                  =     s e c 2 t ⋅ cos ⁡ t - 4 + s e n   t ⋅ t g   t ( cos ⁡ t - 4 ) ²

                                                                  = 1 c o s ² t ⋅ c o s t -   4 + s e n t ⋅ s e n t c o s t ( cos ⁡ t - 4 ) ²

                                                                  = 1 c o s t - 4 c o s ² t + s e n t ⋅ s e n t c o s t ( cos ⁡ t - 4 ) ²

Passo 3

Iremos multiplicar em cima e em baixo por cos(t).

d d t t g   t cos ⁡ t - 4 = c o s t ⋅ 1 c o s t - 4 c o s ² t + s e n t ⋅ s e n t c o s t c o s t ⋅ ( cos ⁡ t - 4 ) ²

                                                        = 1 - 4 c o s t + s e n t ⋅ s e n t c o s t ⋅ ( cos ⁡ t - 4 ) ²

                                                        = 1 - 4 sec ⁡ t + s e n ² t c o s t ⋅ ( cos ⁡ t - 4 ) ²

Resposta

d d t t g   ( t ) cos ⁡ ( t ) - 4 =   1 - 4 sec ⁡ t + s e n ² ( t ) c o s ⁡ ( t ) ⋅ ( cos ⁡ ( t ) - 4 ) ²

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