Enunciado

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Nos Exercícios 23-28, use áreas para calcular as integrais.

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∫ a b 3 t   d t ,     0 < a < b

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral usando o valor da área em baixo da curva da função.

Passo 2

A função é dada por

f t = 3 t

Isso é uma reta e vai dar o seguinte gráfico

Passo 3

Repare que o gráfico vai formar um trapézio, e para calcular a área do trapézio usamos

A = ( B + b ) ⋅ h 2

Repare que as bases vão estar no eixo y , a base maior varia de 0   a t é   3 b , e a base menor varia de 0   a t é   3 a . A altura vai estar no eixo x , e varia de a até b .

A = ( 3 b + 3 a ) ⋅ ( b - a ) 2 = 3 b 2 - 3 a b + 3 a b - 3 a 2 2 = 3 2 ( b 2 - a 2 )

Resposta

O resultado da integral é     3 2 ( b 2 - a 2 ) .

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