Enunciado

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Nos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:

8. ∫ c o t g 5 2 x d x

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a integral da seguinte forma:

∫ c o t g 2 x   c o t g 2 2 x 2   d x

Faremos a seguinte substituição:

u = 2 x → d v = 2 d x

Ficamos com:

1 2 ∫ c o t g u   c o t g 2 u 2   d u

E pela identidade trigonométrica:

c o t g 2 x + 1 = c o s s e c 2 x

Podemos escrever a integral como:

1 2 ∫ c o t g u   c o s s e c 2 u - 1 2   d u

Passo 2

Precisaremos fazer mais uma substituição:

v = c o s s e c u → d v = - c o t g v   c o s s e c v d u

Isolando o du:

d u = - d v c o t g v   c o s s e c v

Nossa integral então vai ficar assim:

- 1 2 ∫ v 2 - 1 2 v   d u

Expandindo a potência:

- 1 2 ∫ v 4 - 2 v 2 + 1 v   d u

Reescrevendo:

- 1 2 ∫ v 3 - 2 v + 1 v   d u

Passo 3

E agora podemos integrar:

- v 4 8 + v 2 2 - l n v 2 + c

Retornando para a variável u:

- c o s s e c 4 u 8 + c o s s e c 2 u 2 - l n c o s s e c u 2 + c

E agora retornando para x:

- c o s s e c 4 2 x 8 + c o s s e c 2 2 x 2 - l n c o s s e c 2 x 2 + c

Resposta

- c o s s e c 4 2 x 8 + c o s s e c 2 2 x 2 - l n c o s s e c 2 x 2 + c

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,   s e   n for um inteiro positivo maior do que 1.
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcule a integral definida. ∫ 1 / 6 1 / 2 c o s s e c   π t   c o t g   π t   d t
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x
Calcule a integral. ∫ s e n 6 π x   d x
Calcule a integral. ∫ s e n 6 x cos 3 ⁡ x   d x
Calcule a integral indefinida. ∫ tg - 1 ⁡ x 1 + x 2 d x
Calcule a integral. ∫ 1 + cos ⁡ θ 2   d θ
Calcule a integral. ∫ cos 2 ⁡ x   t g 3 x   d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec 4 ⁡ ( θ ) tan 4 ⁡ ( θ ) d θ
Calcule a integral ∫ 0 π 3 tan 5 ⁡ ( x ) sec 6 ⁡ ( x ) d x
Calcule a integral ∫ sin ⁡ ϕ cos 3 ⁡ ϕ d ϕ