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Nos exercícios de 31 a 42, ache f ' a   para o valor de f ' ( a )

41 .     f x = 2 c o t g x - c o s e c x                   a = 2 π 3

Passo 1

Nós queremos a derivada da função, que será:

f ' x = 2 c o t g x ' - ( c o s e c x ) '

Para simplificar nossa resolução iremos separar a função em dois termos

1 º   t e r m o - 2 c o t g x

2 º   t e r m o - c o s e c x

Usaremos a regra do produto para derivar o 1º termo

Regra do produto:

f x ⋅ g x '   = f x   ' ⋅ g x + g x ' ⋅ f x

Já o 2º termo não tem muito mistério, é só derivar normalmente

Passo 2

1º - Derivada de 2 c o t g x

2 c o t g x ' =   2 ' ⋅ c o t g x + c o t g x ' ⋅ 2

                                          =   0 ⋅ c o t g x + ( - c o s e c 2 x ) ⋅ 2

                                          = - 2 c o s e c 2 x  

Passo 3

2º - Derivada de c o s e c x

c o s e c x '     =   - c o s e c x   c o t g x

Passo 4

Vamos agora substituir o x pelo valor de a:

c o s e c x = c o s e c 2 π 3 =   1 s e n 2 π 3   = 1 3 2 = 2 3

c o t g x = c o t g 2 π 3 =   1 t g 2 π 3     = - 1 3

Passo 5

Por fim, substituímos os valores na nossa derivada e acharemos o valor final da derivada.

f ' x = - 2 c o s e c 2 x   - ( - c o s e c x   c o t g x )

                        = - 2 c o s e c 2 x + c o s e c x   c o t g x

                      = - 2 2 3 2 + 2 3 - 1 3  

                      = - 2 ⋅ 4 3 - 2 3 =   - 10 3

Resposta

f ' x = - 10 3

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