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Nos Exercícios de 51 a 56, ache d y d x .

55)   y = x 3

Passo 1

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f ( x ) = x 3 , temos:

f x 1 + ∆ x = x 1 + ∆ x 3   e

f x 1 = x 1 3

Logo, aplicando na definição:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ x 1 + ∆ x 3   - [ x 1 3 ] ∆ x

Multiplicando numerador e denominador por x 1 + ∆ x 3 2 + x 1 + ∆ x 3 . x 1 3 + x 1 3 2 , poderemos utilizar o produto notável a 3 - b 3 = a - b . a 2 + a b + b 2 e então eliminar as raízes cúbicas.

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ x 1 + ∆ x 3   - x 1 3 ∆ x . x 1 + ∆ x 3 2 + x 1 + ∆ x 3 . x 1 3 + x 1 3 2 x 1 + ∆ x 3 2 + x 1 + ∆ x 3 . x 1 3 + x 1 3 2

Simplificando, temos:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ ∆ x ∆ x . x 1 + ∆ x 3 2 + x 1 + ∆ x 3 . x 1 3 + x 1 3 2

Desenvolvendo, fica:

f ' x = 1 3 . x 3 2

Resposta

d y d x = 1 3 . x 3 2

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