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Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

17 .   ∫ 2 t 3 + 11 t + 8 t 3 + 4 t 2 + 4 t d t  

Passo 1

Vamos facilitar a resolução dessa integral modificando ela um pouco

∫ 2 t 3 + 11 t + 8 t 3 + 4 t 2 + 4 t d t = ∫ 2 t 3 + 11 t + 8 t ( t 2 + 4 t + 4 ) d t =   ∫ 2 t 3 + 11 t + 8 t t + 2 2 d t

Assim podemos ver que o método de resolução dessa integral é por frações parciais

Passo 2

Mas para conseguir abrir aa expressão em frações parciais precisamos fazer com que a ordem do polinômio do numerador caia para um polinômio de 2º grau, para isso vamos fazer algumas manipulações a seguir:

2 t 3 + 11 t + 8 t 3 + 4 t 2 + 4 t = 2 t 3 + 8 t + 3 t + 8 t 3 + 4 t 2 + 4 t = 2 t 3 + 8 t + 8 t 2 - 8 t 2 + 3 t + 8 t 3 + 4 t 2 + 4 t

= 2 t 3 + 4 t + 4 t 2 - 8 t 2 + 3 t + 8 t 3 + 4 t 2 + 4 t = 2 t 3 + 4 t + 4 t 2 t 3 + 4 t 2 + 4 t + - 8 t 2 + 3 t + 8 t 3 + 4 t 2 + 4 t

= 2 + - 8 t 2 + 3 t + 8 t 3 + 4 t 2 + 4 t = 2 + - 8 t 2 + 3 t + 8 t t + 2 2

Passo 3

Agora podemos fazer frações parciais com o que obtivemos:

- 8 t 2 + 3 t + 8 t ( t + 2 ) = A t + B t + 2 + C t + 2 2 = A t + 2 2 + B t + 2 t + C t t t + 2 2

  = A t 2 + 4 A t + 4 A + B t 2 + 2 B t + C t t t + 2 2 = A + B t 2 + 4 A + 2 B + C t + 4 A t t + 2 2

Assim:

4 A = 8 ⇒ A = 2

A + B = - 8 ⇒ 2 + B = - 8 ⇒ B = - 10

4 A + 2 B + C = 3 ⇒ 4 ⋅ 2 + 2 ⋅ - 10 + C = 3 ⇒ 8 - 20 + C = 3 ⇒ C = 3 + 12 = 15

Passo 4

Logo nossa expressão inicial toma a seguinte forma:

2 t 3 + 11 t + 8 t 3 + 4 t 2 + 4 t = 2 + 2 t + - 10 t + 2 + 15 t + 2 2

E nossa integral fica

∫ 2 t 3 + 11 t + 8 t 3 + 4 t 2 + 4 t d t = ∫ 2 + 2 t + - 10 t + 2 + 15 t + 2 2 d t

Passo 5

Resolvendo a integral:

∫ 2 + 2 t + - 10 t + 2 + 15 t + 2 2 d t = ∫ 2   d t + ∫ 2 t d t - ∫ 10 t + 2   d t + ∫ 15 t + 2 2 d t

Vamos resolver cada integral separadamente e depois juntamos tudo:

∫ 2   d t = 2 t

∫ 2 t   d t = 2 ∫ 1 t   d t = 2 ln ⁡ t

∫ 10 t + 2   d t = 10 ∫ 1 t + 2   d t = 10 ln ⁡ t + 2

∫ 15 t + 2 2 d t

Fazendo: u = t + 2 , logo d u = d t ficamos com:

∫ 15 u 2   d u = 15 ∫ 1 u 2   d u = 15 ⋅ - 1 u = - 15 u

Voltando a variável original, ficamos com:

∫ 15 t + 2 2 d t = - 15 t + 2

Passo 6

Somando todos os valores que encontramos ficamos com:

∫ 2 + 2 t + - 10 t + 2 + 15 t + 2 2 d t = 2 t + 2 ln ⁡ t - 10 ln ⁡ t + 2 - 15 t + 2 + c

Resposta

∫ 2 t 3 + 11 t + 8 t 3 + 4 t 2 + 4 t d t = 2 t + 2 ln ⁡ t - 10 ln ⁡ t + 2 - 15 t + 2 + c

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