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Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

52 .   ∫ d x ( x 2 + 6 x + 34 ) ²

Passo 1

Vamos reformular essa integral completando quadrados no denominador:

∫ d x ( x 2 + 6 x + 34 ) ² = ∫ d x x + 3 2 + 25 2

Passo 2

Usaremos a substituição simples para simplificar nossa integral:

u = x + 3 ⇒ d u = d x

Então:

∫ d u u 2 + 25 2

Passo 3

O próximo passo é fazer a substituição trigonométrica pois se você reparar temos um a 2 + x 2 dentro do nosso parêntese.

u = 5 tan ⁡ θ ⇒ d u = 5 sec 2 ⁡ θ d θ

∫ 1 ( 5 tan ⁡ θ ) 2 + 25 2   5 sec 2 ⁡ ( θ )   d θ = ∫ 1 25 t a n 2 ( θ ) + 25 2   5 sec 2 ⁡ ( θ )   d θ

Uma pausa para lembrar duas identidades trigonométricas que faremos uso agora:

tan 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Continuando...

∫ 1 25 t a n 2 ( θ ) + 25 2   5 sec 2 ⁡ ( θ )   d θ = ∫ 1 25 ( t a n 2 ( θ ) + 1 ) 2   5 sec 2 ⁡ ( θ )   d θ

= ∫ 1 25 sec 2 ⁡ θ 2   5 sec 2 ⁡ ( θ )   d θ

= ∫ 1 625 sec 4 ⁡ θ   5 sec 2 ⁡ ( θ )   d θ

= ∫ 1 125 sec 2 ⁡ θ   d θ

= ∫ 1 125 cos 2 ⁡ θ   d θ

= ∫ cos 2 ⁡ θ 125   d θ

= 1 125 ∫ cos 2 ⁡ θ   d θ

Passo 4

Repare na nossa integração a função trigonométrica está elevada a um expoente par então usaremos:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

1 125 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2   d θ = 1 125 ∫ 1 2   d θ + 1 125 ∫ cos ⁡ 2 θ 2     d θ

Substituindo:

v = 2 θ ⇒ d v = 2   d θ    

= 1 250 ∫ d θ   + 1 250 ∫ cos ⁡ v   d v 2 = 1 250 ⋅ θ   + 1 500 ⋅ s e n   v + c

Passo 5

Agora vamos fazer a volta para nossa variável inicial:

v = 2 θ

θ 250 + s e n   v 500 + c = θ 250 + s e n   2 θ 500 + c

Para próxima volta de variável vamos dedicar um passo para isso.

Passo 6

Temos que:

u = 5   t g   θ ⇒ t g   θ = u 5

Mas sabemos que tg é cateto oposto sobre cateto adjacente, então temos que:

c . o = u     e     c . a = 5

Para saber quanto vale o sen e o cos precisamos saber quem é a hipotenusa, mas sabemos que:

c . o 2 + c . a 2 = h 2 ⇒ h 2 = u 2 + 5 2 ⇒ h = u 2 + 5 2

Assim:

s e n   θ = c . o h ⇒ u u 2 + 5 2

E

cos ⁡ θ = c . a h ⇒ 5 u 2 + 5 2

Na nossa integral temos que voltar a variável θ de s e n   2 θ para u, podemos fazer isso com a seguinte relação.

s e n   2 θ = 2 s e n   θ ⋅ cos ⁡ θ

⇒ 2 u u 2 + 5 2 ⋅ 5 u 2 + 5 2 = 10 u u 2 + 5 2

E temos também que:

θ = a r c t g u 5

Agora podemos continuar revertendo as substituições feitas.

Passo 7

Aplicando o que descobrimos no passo 6 e revertendo as outras substituições, ficamos com:

θ 250 + s e n   2 θ 500 = a r c t g u 5 250 + 1 500 ⋅ 10 u u 2 + 5 2

= 1 250 a r c t g u 5 + 1 2 ⋅ 10 u u 2 + 5 2 = 1 250 a r c t g u 5 + 5 u u 2 + 5 2

u = x + 3

1 250 a r c t g u 5 + 5 u u 2 + 5 2 = 1 250 a r c t g ( x + 3 ) 5 + 5 ( x + 3 ) ( x + 3 ) 2 + 5 2

Resposta

∫ d x ( x 2 + 6 x + 34 ) ² = 1 250 a r c t g ( x + 3 ) 5 + 5 ( x + 3 ) ( x + 3 ) 2 + 5 2 + c

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