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Nos exercícios de 1 a 6, ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.

4 .   r = 4 s e n 2 1 2 θ

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar quais são os limites de θ . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Como a curva é simétrica com relação ao eixo polar, tomamos os limites de θ de 0 até π , o que determina a área da região limitada pela curva acima do eixo polar. Entao, para determinar a área de toda região, basta multiplica-la por 2.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ = 2 . ( 1 2 ∫ 0 π 4 s e n 2 1 2 θ 2 d θ ) =

∫ 0 π 16 . s e n 4 1 2 θ d θ = ∫ 0 π 16 . 1 2 1 - c o s θ 2 d θ = 16 . 1 4 ( 1 - 2 c o s θ + cos 2 ⁡ θ ) 0 π

= 4 . ∫ 0 π 1 - 2 c o s θ + 1 2 1 + c o s 2 θ d θ = . 6 θ - 8 s e n θ + s e n 2 θ 0 π = 6 π

Resposta

A = 6 π

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